По двум параллельным проводам перемещаются две подвижные перемычки сопротивление которых

§ 5.9. Примеры решения задач

При решении задач на материал этой главы нужно уметь с помощью правила Ленца определять направление индукционного тока. Для вычисления ЭДС индукции следует использовать формулы (5.3.3), (5.5.2), а для ЭДС самоиндукции и взаимной индукции — формулы (5.7.2) и (5.7.4). Энергию тока вычисляют по формуле (5.8.1), а плотность энергии магнитного поля — по формуле (5.8.6). Для решения некоторых задач надо применять закон Ампера (4.7.9).

Задача 1

Проволочное кольцо радиусом г находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца и меняется с течением времени по закону В = kt. Определите напряженность электрического поля в витке.

Решение. Согласно закону электромагнитной индукции (5.3.2)

с другой стороны, ЭДС индукции численно равна работе, совершаемой вихревым электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда вдоль проволочного кольца (см. § 4.4), т. е.

Сравнивая выражения (5.9.1) и (5.9.2), получим:

Задача 2

В однородном проволочном кольце создан постоянный индукционный ток I. Линии индукции переменного магнитного поля, создающего этот ток, перпендикулярны плоскости кольца. Поле сосредоточено вблизи его оси и имеет ось симметрии, проходящую через центр кольца (рис. 5.18). Чему равна разность потенциалов между точками А и В? Что будет показывать электрометр, присоединенный к этим точкам?

Решение. Разность потенциалов между любыми точками кольца должна быть равна нулю. В противном случае мы придем к противоречию, применяя закон Ома к короткому и длинному участкам кольца. Кроме того, это очевидно и из соображений симметрии.

Отсутствие разности потенциалов означает, что кулонов-ское поле внутри кольца равно нулю. Ток возникает вследствие наличия ЭДС индукции, распределенной равномерно вдоль кольца:

где е_i, и E_i — ЭДС индукции на коротком и длинном участках кольца, а r и R — соответственно сопротивления участков.

Несмотря на отсутствие разности потенциалов между точками А к В, электрометр обнаружит разность потенциалов между стержнем и корпусом.

Дело в том, что в проводниках АС и BD ток равен нулю. Следовательно, в каждой точке этих проводников стороннее электрическое поле индукционного происхождения уравновешивается кулоновским (потенциальным) полем, возникающим вследствие перераспределения зарядов в проводниках под влиянием ЭДС индукции. Работа потенциальных сил при перемещении по замкнутому контуру ACDBA равна нулю. На участке АВ кулоновское поле отсутствует. При перемещении единичного заряда по проводникам АС и BD работа потенциальных сил численно равна ЭДС индукции в этих проводниках и имеет противоположный знак.

Следовательно, для равенства нулю работы кулоновских сил вдоль замкнутого контура необходимо, чтобы разность потенциалов между точками С к D равнялась ЭДС индукции в проводниках АС и DB и совпадала с ней по знаку. Так как ЭДС индукции в замкнутом контуре ACDBA равна нулю (магнитное поле не пронизывает этот контур), то на участке АВ ЭДС индукции равна по модулю и противоположна по знаку ЭДС в проводниках АС и ВD, если пренебречь работой сторонних сил индукции на участке между стержнем и корпусом электрометра по сравнению с работой в проводниках АС и BD.

Поэтому электрометр покажет разность потенциалов, приблизительно равную ЭДС на участке АВ.

Задача 3

По параллельным рельсам, наклоненным под углом α = 30° к горизонту, соскальзывает без трения с постоянной скоростью υ = 1 м/с проводящая перемычка массой m — 100 г. В своей верхней части рельсы замкнуты проводником. Рельсы с перемычкой нгдодятся в однородном магнитном поле, индукция которого направлена вертикально. Сопротивление перемычки R = 2 Ом гораздо больше сопротивления остальной части системы. Чему равна сила тока I в перемычке?

Решение. На перемычку действуют три силы: сила тяжести m, сила реакции рельсов и сила Ампера _A, направленная вправо (рис. 5.19). Направление силы Ампера не зависит от направления вектора В. При изменении направления В на противоположное меняется направление индукционного тока, возникающего в перемычке при ее движении, но направление силы Ампера не меняется.

Так как, согласно условию, перемычка соскальзывает по рельсам с постоянной скоростью без трения, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:

Запишем это уравнение для модулей проекций на ось X, направленную так, как показано на рисунке 5.19:

Сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля на перемычку, равна:

где В — индукция магнитного поля, l — длина перемычки. Тогда уравнение (5.9.3) примет вид:

ЭДС индукции, возникающая в перемычке при ее движении вниз по рельсам со скоростью , равна:

Поделив почленно равенство (5.9.4) на равенство (5.9.5), получим:

Задача 4

Из провода длиной l изготовили соленоид длиной l₀. Диаметр соленоида d 2 B₀, а индукционный ток меняется при этом от 0 до I, получим:

Упражнение 9

1. Катушка из ω витков, площадь каждого из которых равна S, присоединена к баллистическому гальванометру. (Баллистический гальванометр измеряет прошедший через него заряд.) Сопротивление всей цепи R. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в области, где магнитная индукция постоянна по модулю и направлена перпендикулярно виткам катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Чему равен заряд q, прошедший через гальванометр?

2. Прямоугольная рамка ABCD расположена в плоскости бесконечного прямолинейного проводника с током, причем стороны AD и ВС параллельны проводнику (рис. 5.20). В середине стороны DC включен прибор, измеряющий заряд, протекающий по контуру (на рисунке не показан). Рамку можно перевести в новое положение, изображенное на рисунке 5.20 ихтриховой линией, двумя способами: а) перемещая ее параллельно самой себе; б) вращая на 180° вокруг стороны ВС. В каком случае заряд, протекший через прибор, больше?

3. Прямоугольный контур ABCD перемещается поступательно в магнитном поле тока I, текущего по длинному прямому проводу 00′ (рис. 5.21). Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определите силу тока, индуцированного в контуре, если контур перемещается с постоянной скоростью и; AD = ВС = a; АВ = DC = b. Сопротивление контура R.

4. Стержень длиной L = 1 м вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 -2 Тл вокруг оси, проходящей через один из концов стержня. Индукция магнитного поля направлена вертикально. Определите разность потенциалов U между концами стержня.

5. Определите силу тока в проводниках цепи, изображенной на рисунке 5.22, если индукция однородного магнитного поля перпендикулярна плоскости чертежа и модуль ее изменяется по закону В = kt. Сопротивление единицы длины проводников равно r.

6. Переменное магнитное поле создает в кольцевом проводнике ADBKA постоянную ЭДС индукции E. Сопротивления проводников ADB, АКВ и АСВ (рис. 5.23) равны соответственно R₁, R₂ и R₃. Какую силу тока показывает амперметр, включенный в участок АСВ? Магнитное поле сосредоточено у оси кольцевого проводника.

7. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а = 5 см и b = 10 см входит с постоянной скоростью υ = 1 м/с своей меньшей стороной в большую область однородного магнитного поля, индукция которого, равная по модулю В = 0,01 Тл, направлена по нормали к плоскости рамки. Сопротивление рамки R = 0,01 Ом. Какую работу А совершает индукционный ток за время Δt = 0,5 с с момента, когда рамка начинает входить в поле?

8. По двум вертикальным рейкам АВ и CD (рис. 5.24), соединенным резистором R, может без трения скользить проводник длиной l и массой m. Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости рисунка и направлена к нам. Как будет двигаться подвижный проводник, если пренебречь сопротивлением самого проводника и реек?

9. Проводник длиной l может без трения скользить по рейкам АВ и CD, соединенным через резистор сопротивлением R (рис. 5.25), в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости чертежа. Какую силу следует приложить к проводнику, чтобы он двигался равномерно со скоростью ?

10. Проволочная рамка в форме равностороннего треугольника со стороной а = 5 см входит в область однородного магнитного поля. Рамка движется поступательно с постоянной скоростью υ = 20 м/с так, что одна сторона ее перпендикулярна границе области магнитного поля, а плоскость рамки перпендикулярна направлению вектора магнитной индукции. Какого максимального значения достигнет сила индукционного тока в рамке при ее движении? Сопротивление рамки R = 10 -2 Ом. Индукция магнитного поля В = 1,5 • 10 -2 Тл.

11. По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым нa конденсатор С, может без трения двигаться проводник массой m и длиной l. Вся система находится в однородном магнитном поле, индукция которого направлена вверх. К середине проводника перпендикулярно к нему и параллельно рейкам приложена сила (рис. 5.26). Определите ускорение подвижного проводника, если сопротивление реек, подводящих проводов и подвижного проводника равно нулю. Какие виды энергии возникают за счет работы силы ? Считать, что в начальный момент скорость проводника равна нулю. Индуктивностью цепи пренебречь.

12. На цилиндр из немагнитного материала намотан соленоид из ω витков проволоки. Радиус цилиндра r, его длина l (г > г. Центры колец лежат на прямой ОО’, перпендикулярной плоскостям обоих колец. Кольца могут перемещаться только вдоль этой прямой. В начальный момент по кольцам текут в одном направлении токи I₀ (рис. 5.28). Чему будут равны силы токов в кольцах после того, как они сблизятся вплотную?

Источник

По двум параллельным проводам перемещаются две подвижные перемычки сопротивление которых

1.5. Два одинаковых шарика с зарядами q₁ и –q₂ вследствие притяжения прикоснулись и вновь разошлись на расстояние r. Определить заряд каждого шарика после соприкосновения и силу взаимодействия между ними.

2.5. Найти потенциал в центре сферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью s . Построить график φ = f(r).

3.5. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распределенный по площади заряд равный 1 нКл/м 2 . Определить напряженность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

4.5. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого рав­но 5 мм, заряжен до потенциала 6 000 В. Пло­щадь пластин конденсатора равна 12,5 см 2 . Чему будет равна энергия конденсатора, если, отсоединив его от источника напряжения, пла­стины раздвинуть до расстояния 1 см?

5.5. Элемент с ЭДС 1,1 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти: 1) силу тока в це­пи; 2) падение потенциала во внешней цепи; 3) падение потенциала внутри элемента; 4) с каким КПД работает элемент.

6.5. Элементы цепи, схема которой показана на рис. 21 имеют следующие значения: ξ₁ = 1,5 В, ξ₂ = 1,6 В, R₁ = 1 кОм, R₂ = 2 кОм. Определить показание вольтметра, если его сопротивление R_V = 2 кОм. Сопротивлением источников и соединительных проводов пренебречь.

7.5. Найти индукцию магнитного поля в точке 0 контура с током J (рис. 69).

8.5. Виток, по которому течет ток силой 20 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,016 Тл. Диаметр витка 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть виток на угол 90° относительно оси, совпадающей с диаметром? То же, если угол 2p?

9.5. a-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) радиус окружности; 3) период обращения частицы.

10.5. По двум параллельным проводам перемещаются две подвижные перемычки, сопротивления которых равны R₁=10мОм и R₂=10мОм, а скорости соответственно V₁=1м/с и V₂=2м/с. Сопротивление третьей перемычки R₀=10мОм, расстояние между проводами L=0.2м, индукция пронизывающего контур магнитного поля B=30мТл. Определить силу тока в неподвижной перемычке.

11.5. Колебательный контур, имеющий катушку индуктивностью L=0,1Гн и конденсатор емкостью C=0,1мкФ, присоединен через ключ к источнику ЭДС ε=3В и внутренним сопротивлением r=100Ом. Вначале ключ замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают. Определить амплитуду колебаний напряжения на индуктивности или на емкости.

Источник